Para el caso de estudio, los costos asociados se realizan en un vehículo de una capacidad de carga de 700 Kg, estos son: costo de mano de obra, combustible, mantenimiento, depreciación (Tabla 1). Se establece que el vehículo se mueve a una velocidad promedio de 30 km/h para la zona urbana, teniendo en cuenta que el máximo permitido para dicha zona es de 40 km/h.
El costo por kilómetro recorrido es definido por la siguiente ecuación:

2.3. Características del sistema de recolección actual

La empresa realiza la recolección de forma empírica, confiando en la experiencia del conductor para mover y recolectar material por los 19 centros de acopio que deben ser visitados una vez a la semana.
La recolección se realiza durante la jornada de 8:00 am a 5:00 pm que equivalen a 8 horas de trabajo y una hora para descanso. El tiempo promedio de carga de material es de 15 minutos para cargas de 35 kg y 25 minutos para cargas de 70 kg en cada punto de acopio.
Para efectos del caso estudio, se tendrá en cuenta la recopilación de datos sobre tres rutas empíricas que generalmente son recorridas por el vehículo de la empresa, de acuerdo a la cercanía entre los puntos de acopio, los días martes, miércoles y jueves, en donde la bodega de almacenamiento es el punto de origen y llegada para entregar el material recogido y continuar así con los demás procesos logísticos establecidos como recepción, almacenamiento y entrega final (PetStar, 2018).

2.4. Resumen de la ruta de recolección actual

Como se observa en la Tabla 2 las rutas están integradas por 22 paradas en las que recogerá 1.120 kg de PET recorriendo una distancia total de 307 kilómetros, con un promedio de utilización del vehículo de 53%, en un tiempo total de 828 minutos equivalentes a 13 horas y 48 minutos, a un costo total de 117.89 USD.
Ruta 1
Ruta comprendida por las escuelas 1, 4, 8, 10, 13, 15, 17 y 19 que son visitadas el día martes. La bodega de almacenamiento es el punto de origen y llegada.

Fig. 2.Puntos de acopio que integran la Ruta 1

Ruta 2 Ruta comprendida por las escuelas 2, 3, 5, 6, 7, 9, y 14 que son visitadas el día miércoles. La bodega de almacenamiento es el punto de origen y llegada.

Fig. 3.  Puntos de acopio que integran la Ruta 2

Ruta 3
Ruta 3 integrada por las escuelas 11, 12, 16 y 18 que son visitadas el día jueves. La bodega de almacenamiento es el punto de origen y llegada.

Figura 4. Puntos de acopio que integran la Ruta 3

2.5. Matriz de distancias y coordenadas cartesianas

Con el fin de generar el modelo de ruteo de vehículos, se optó por ubicar geográficamente los puntos de acopio y la bodega de almacenamiento para realizar la matriz de distancias entre cada nodo, con distancias reales por carretera obtenidas con Google Maps®, utilizando la herramienta UTM®, se convirtieron las coordenadas geodésicas en coordenadas cartesianas.

Posteriormente, se restan las coordenadas cartesianas de la bodega de almacenamiento a las coordenadas de cada punto de acopio, de acuerdo a su respectivo eje, la bodega tiene coordenadas (0,0) y las coordenadas de los puntos de acopio queden organizadas en función a las que corresponden a la bodega.

3. Formulación del modelo de ruteo vehícular

El objetivo es minimizar la distancia total recorrida y sus costos (Braekers, Ramaekers & Nieuwenhuyse, 2016).

3.1. Supuestos y limitaciones

• Existe un único depósito y cada vehículo inicia y finaliza en él.
• La empresa cuenta con un vehículo para el transporte de material y el vehículo puede o no hacer uso del total de su capacidad de carga.
• Se debe considerar la capacidad del vehículo que es de 700 kg.
• La demanda de cada punto de acopio es conocida, no presenta cambios en el periodo y debe ser atendida en su totalidad por un solo vehículo.
• El tiempo total de la ruta no debe sobrepasar las 8 horas laborales.
• No hay conflicto en los horarios de entrega del producto.
• El tráfico en la ruta asignada es una variable que no se puede controlar ni predecir, por lo tanto, el vehículo estará sujeto al tráfico que pueda existir en la ruta.
• El costo de transporte está asociado a la distancia total recorrida.

3.2. Índices del modelo

Nodos: conjunto de nodos, unión entre puntos de paradas y de depósito, indexados en i y j, donde i difiere de j (i ≠ j), y en el que cada uno tiene una demanda conocida (Baldacci, Toth & Vigo, 2010).
i: Nodo de partida i {0,1,2,3, …, 19}
j: Nodo de llegada j {0,1,2,3, …, 19}
n: Nodos {0,1,2,3, …, 19}
k: Vehículo o recurso utilizado k {1}
t: Tiempo en semana

3.3. Parámetros

C_mo: costo de mano de obra por hora laboral de transportar el producto p ∈ PROD[p] en el vehículo k ∈ VEH[k] en la ruta desde i ∈ (BA ∪ PA) [ ] hacia j ∈ (BA ∪  PA) [ i j  ].

C_comb:costo de combustible consumido en una hora por el vehículo k ∈ VEH[k] al recorrer la ruta desde i ∈ (BA ∪ PA) [i j ] hacia j ∈ (BA ∪ PA) [i j ].

C_mant:costo de mantenimiento por hora laboral del vehículo k ∈ VEH[k] en la ruta desde i ∈ (BA ∪ PA) [ ] hacia j ∈ (BA ∪ PA) [ ].

C_depr:costo de depreciación del vehículo k ∈ VEH[k] en una hora laboral al recorrer la ruta desde i ∈ (BA ∪ PA) [ ] hacia j ∈ (BA ∪  PA) [i j ].

V:_veh: velocidad promedio en kilómetros recorridos en una hora.

DIST_ij: distancia en kilómetros desde el punto de partida i hasta el de llegada j.

 D_j: demanda en kilogramos del producto p ∈ PROD[p] en el punto de acopio j ∈ (BA ∪ PA) [i j ].

Q_k: capacidad en kilogramos del vehículo k ∈ VEH[k]

TR_{i j}:tiempo en horas, de recorrido entre i ∈ (BA ∪ PA) [ ] y j ∈ (BA ∪  PA) [i j ].

TS_j:tiempo en horas, de servicio en cada punto de acopio j ∈ (BA ∪ PA) [ i j ].

Tlab:: tiempo laboral, en horas.

T_ij:tiempo total de la ruta de recolección, en horas.

3.4. Variables de decisión

Y_ijk= variable de decisión binaria que toma el valor de: 1 si se asigna el vehículo k ∈ VEH[k] para recorrer el arco del nodo  ∈ (BA ∪ PA) [ i j ] hacia los puntos de acopio j ∈ (BA ∪ PA) [ i j  ]. 0 en caso contrario.
X_kpij = tvariable de decisión binaria que toma el valor de: 1 si se realiza el recorrido en el vehículo k ∈ VEH[ k ] para la recolección del producto p ∈ PROD[p] desde  ∈ (BA ∪ PA) [ i j  ] hacia los puntos de acopio j ∈ (BA ∪ PA) [ i j  ] en la semana  ∈ PER. 0 en caso contrario.

3.5. Función objetivo

El objetivo es encontrar una ruta que opere al mínimo costo total de transporte dependiendo, de la distancia recorrida entre cada nodo, por el vehículo, iniciando la ruta de recolección en la bodega de almacenamiento.



3.6. Restricciones

El modelo está sujeto a:

• Restricción que hace obligatoria la asignación de un vehículo k ∈ VEH[k] a la ruta desde  ∈ (BA ∪ PA) [i j ] hacia los puntos de acopio j ∈ (BA ∪ PA) [i j ], si esta es recorrida.
  
• Restricción que asegura que el vehículo ∈ VEH[k] parte una sola vez de cada origen i ∈ (BA ∪ PA) [i j ].
  
• Restricción que asegura que el vehículo k ∈ VEH[k] llega una sola vez a cada destino j ∈ (BA ∪ PA) [i j ].
  
• Restricción que asegura que la demanda del producto p ∈ PROD[p] a recolectar debe ser menor o igual a la capacidad del vehículo k ∈ VEH[k].
  
• Restricción que asegura que el tiempo total de la ruta de recolección debe ser menor o igual al tiempo laboral.
  
• Restricción que elimina subciclos, es decir, asegura que el vehículo k ∈ VEH[k] no pase dos veces por la misma ruta.
  

Donde n: número de nodos y U: variable que representa un entero 1 y n.

• Restricción que asegura que es binaria.
  
• Restricción que asegura que es binaria.
  

4. Resultados

4.1. Diseño de rutas por GAMS

La ruta general está integrada por la suma de las dos rutas obtenidas por el software GAMS que recoge 1.120 kg de PET recorriendo una distancia de 250.90 kilómetros y un tiempo de 10 horas y 55 minutos con un costo total de 96,178 USD, como se muestra en la Tabla 5.

Tabla 5. Resumen de la ruta de recolección arrojada por el software GAMS

Modelo matemático - GAMS	Demanda Kg	Distancia recorrida Km	Tiempo total min	% Promedio de utilización del vehículo	Costo total ruta USD
Ruta 1	700	26,7	316	100	10,235
Ruta 2	420	224,2	439	60	85,943
Totales	1120	250,9	755	80	96,178

4.2. Aplicación del método heurístico de barrido

La ruta general está integrada por la suma de las dos rutas arrojadas por el método de barrido y por la secuencia de paradas obtenidas
por el software Logware, que recogen 1.120 kg de PET recorriendo una distancia total de 281.15 kilómetros en un tiempo total 11 horas y 23 minutos con un costo total de 107,774 USD, a continuación, se presentan los datos.

Tabla 6.Resumen de la ruta de recolección generada por el método de barrido y el software Logware

Heurístico de barrido - Logware	Demanda Kg	Distancia recorrida Km	Tiempo total min	% Promedio de utilización del vehículo	Costo total ruta USD
Ruta 1	595	202,2	454	85	77,51
Ruta 2	525	78,95	339	75	30,26
Totales	1120	281,15	793	80	107,77

4.3. Análisis y comparación de resultados

La reducción de la distancia recorrida, porcentaje de utilización y reducción de costos es significativa en comparación a la situación actual de ruteo de la empresa, lo que corrobora que la heurística de barrido es una alternativa válida para este caso. Sin embargo, la tabla permite identificar que la mejor es la derivada del modelo matemático validado, en la que recorre una distancia de 250.9 km, en un tiempo de 10 horas y 55 minutos, costo de 96,178 USD siendo este 11% al costo de la ruta generada por la heurística de barrido, los resultados son presentados en la Tabla 7.

Tabla 7. Comparación de la ruta actual y la ruta generada por la modelación propuesta

Descripción	Número de rutas	Demanda Kg	Distancia total recorrida Km	Tiempo total recorrido min	% Promedio utilización del vehículo	Costo total USD	Costo total anual USD
Método de recolección actual	3	1120	307,53	828	53	117,96	6133
Modelo matemático de ruteo vehicular	2	1120	250,9	755	80	96,178	5001
Método heurístico de barrido	2	1120	281,15	793	80	107,774	5604

4.3.1. Análisis de distancia

La distancia de la ruta generada por el modelo en el software GAMS es de 250.9 km, lo que significa una reducción de 19% en la distancia recorrida comparado con la ruta de recolección actual, y un 11% menor a la distancia de la ruta generada por el método heurístico de barrido.

4.3.2. Análisis de tiempo

El tiempo empleado para recorrer la ruta generada por GAMS es de 755 minutos, siendo 9% menor al tiempo empleado en la ruta actual, y un 5% menor al tiempo empleado para recorrer la ruta generada por el método heurístico de barrido.

4.3.3. Análisis de costos de transporte

El costo total de la ruta generada por el modelo en el software GAMS es de 96,178 USD, 19% menor al costo que genera recorrer la ruta actual y 11% menor al costo presentado por la ruta arrojada por el método heurístico de barrido.
La ruta de recolección empírica genera un costo anual de 6.133 USD que, con respecto al costo anual de 5.000 USD de la ruta encontrada por el modelo matemático, representa una reducción de 19% en los costos de transporte.

5. Conclusiones

Esto valida que resolver problemas de ruteo vehicular, para establecer la mejor forma de recolección de producto, resulta extremadamente útil no solo en problemas relacionados con el reparto y recogida de productos, sino también en una gran variedad de problemas reales ligados a la logística del transporte y la distribución de bienes teniendo en cuenta que, el costo de productos o servicios depende en gran medida en la forma en las que estos se mueven a través del canal de distribución.
Con la ruta de recolección actual el recurso vehicular es usado al 80% pero, se estima que al modelo se pueden añadir un máximo de cuatro puntos de acopio que representen en conjunto 280 kg de material a recolectar, así la capacidad del vehículo será usada al 100%.
Las propuestas fueron planteadas según la capacidad del vehículo, debido a que este puede transportar como máximo 700 kg de material PET generando así dos rutas que satisfacen la recolección de material en su totalidad.
Se evidencia la necesidad de que la empresa haga un análisis de viabilidad económica para la recolección de material PET en los puntos de acopio 15 y 13 ubicados, pues al ser los puntos más lejanos generan costos de transporte muy superiores al valor del producto recolectado por lo que se recomienda analizar la posibilidad de buscar nuevos puntos de acopio cercanos a la zona que hagan viable, económicamente, el recorrido hasta ese lugar.
El modelo matemático de ruteo vehicular puede ser modificado dado el caso en que la empresa decida ampliar los puntos de acopio o el número de vehículos manteniendo una flota homogénea; para que en estudios futuros se tomen en cuenta más variables y se evalúen las soluciones que estas generen.

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¹ Docente de ingeniería industrial, hpaz@unicomfacauca.edu.co, Corporación Universitaria Comfacauca – Grupo de investigación Cadenas de Valor. Orcid: https://orcid.org/0000-0003-4661-8538.

² Docente de ingeniería industrial, iflorez@unicomfacauca.edu.co, Corporación Universitaria Comfacauca – Grupo de investigación Cadenas de Valor. Orcid: https://orcid.org/0000-0002-1270-7981.

³ Investigadora, yesikaleon@unicomfacauca.edu.co, Corporación Universitaria Comfacauca – Grupo de investigación Cadenas de Valor. Orcid: https://orcid.org/0000-0002-7321-5892.